diff --git a/.translate/state/theil_2.md.yml b/.translate/state/theil_2.md.yml
index 71027c5..0461783 100644
--- a/.translate/state/theil_2.md.yml
+++ b/.translate/state/theil_2.md.yml
@@ -1,6 +1,6 @@
-source-sha: 78030a3a27f6527046675bcd8a8d27995ca25af6
-synced-at: "2026-07-22"
-model: claude-opus-4-8
-mode: NEW
+source-sha: 7f05c342ae6b5261ee86b25f8ad2751104343526
+synced-at: "2026-07-31"
+model: claude-sonnet-5
+mode: UPDATE
 section-count: 8
-tool-version: 0.20.0
+tool-version: 0.24.0
diff --git a/lectures/theil_2.md b/lectures/theil_2.md
index 4011581..67e21b2 100644
--- a/lectures/theil_2.md
+++ b/lectures/theil_2.md
@@ -49,8 +49,6 @@ translation:
 :depth: 2
 ```
 
-
-
 ## 概述
 
 
@@ -103,7 +101,6 @@ mpl.font_manager.fontManager.addfont(FONTPATH)  # i18n
 mpl.rcParams['font.family'] = ['Source Han Serif SC']  # i18n
 ```
 
-
 ## 回顾：普通确定性等价
 
 {ref}`配套讲座 <certainty_equiv_theil1>` 详细地建立了 CE 性质。
@@ -177,7 +174,6 @@ plt.tight_layout()
 plt.show()
 ```
 
-
 ## 模型不确定性与稳健性
 
 ### 设定与乘数问题
@@ -343,7 +339,6 @@ plt.show()
 
 这与普通 CE 形成鲜明对比：在稳健性下，*策略增益和值矩阵都依赖于稳健性参数 $\theta$ 和噪声载荷矩阵 $C$*。
 
-
 ## 稳健性下的值函数
 
 在对稳健性有偏好的情况下，{eq}`eq:multiplier` 的最优值再次是二次的，
@@ -380,7 +375,6 @@ z_{t+1} = f(z_t,\, w_{t+1}),
 
 随机性的存在降低了值（常数 $p$），但不改变决策规则。
 
-
 ## 风险敏感偏好
 
 在 {cite:t}`Jacobson_73` 和 {cite:t}`Whittle_1990` 的基础上，{cite:t}`hansen2004certainty` 证明了同样的决策规则可以通过**风险敏感偏好**来重新解释。
@@ -428,7 +422,6 @@ U_t = r(y_t, u_t) + \beta\, \mathcal{R}_t(U_{t+1})
 
 > **关键等价性：** 参数为 $\theta$ 的稳健控制与参数为 $\sigma = -\theta^{-1}$ 的风险敏感控制产生相同的决策规则。
 
-
 ## 应用：永久收入模型
 
 我们现在在一个具体的线性二次型永久收入模型中说明上述所有内容。
@@ -577,7 +570,7 @@ mystnb:
     caption: Standard vs robust consumption paths
     name: fig-std-vs-robust-paths
 ---
-np.random.seed(0)
+rng = np.random.default_rng(0)
 T_sim = 100
 
 def simulate_ar1(φ, ν, shocks, mu0=0.0):
@@ -587,7 +580,7 @@ def simulate_ar1(φ, ν, shocks, mu0=0.0):
         path[t] = φ * path[t-1] + ν * ε
     return path
 
-shock_path = np.random.randn(T_sim - 1)
+shock_path = rng.standard_normal(T_sim - 1)
 mu0_init = 10.0
 mu_std_path = simulate_ar1(φ_std, ν_std, shock_path, mu0=mu0_init)
 mu_rob_path = simulate_ar1(φ_rob, ν_rob, shock_path, mu0=mu0_init)
@@ -658,7 +651,6 @@ plt.show()
 
 这是因为对稳健性的偏好通过进入随机贴现因子的 $\mathcal{D}(P)$ 矩阵生成了不同的状态价格。
 
-
 ## 小结
 
 下表浓缩了主要结果：
@@ -673,7 +665,6 @@ plt.show()
 
 差异在于第二步中形成的是哪种信念。
 
-
 ## 练习
 
 ```{exercise-start}
@@ -778,4 +769,4 @@ for s in σ_trio:
 正如 {cite:t}`HST_1999` 所表明的，这就是为什么即使储蓄计划一致，这两种参数化仍然意味着不同的资产价格。
 
 ```{solution-end}
-```
\ No newline at end of file
+```